图像是如何进行各种变换的？这里不得不提一提仿射变换了。

仿射变换

仿射变换（Affine Transformation）是一类保持点间直线性和平行关系的几何变换，它在计算机视觉、图像处理和几何计算中非常常见。仿射变换的底层原理依赖于矩阵运算，它能够对图像进行平移、缩放、旋转和剪切等操作。

仿射变换的数学基础

仿射变换可以用矩阵表示。假设我们有一个二维点 ((x, y))，经过仿射变换后得到的新点 ((x’, y’))，这个过程可以用以下矩阵方程表示：

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & tx \\ c & d & ty \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$$

这个矩阵方程表示了一个 2D 点通过仿射变换映射到新的位置：

$$x' = ax + by + tx$$ $$y' = cx + dy + ty$$

仿射变换的组成

1. 缩放 (Scaling)：通过矩阵的对角线元素控制。矩阵的 a 和 d 元素分别决定在 (x) 和 (y) 方向的缩放因子。

   • (a) 和 (d) 控制横向和纵向缩放比例。如果 (a = d = 1)，则不缩放。

2. 旋转 (Rotation)：通过矩阵的 a, b, c, d 元素控制，旋转角度为 (\theta)，其矩阵形式为：

   $$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

• 旋转保留了图形的大小，只是改变了图像的角度。

1. 平移 (Translation)：由 tx 和 ty 控制，分别表示在 (x) 和 (y) 方向上的移动量。矩阵的最后一列 (tx, ty) 控制平移。

2. 剪切 (Shearing)：由 b 和 c 元素控制，定义了图像在 (x) 或 (y) 方向上的倾斜程度。

仿射变换的几何意义

仿射变换不仅可以改变物体的位置、方向和大小，而且能够保持几何结构的某些性质，如直线性和平行性。即：

• 经过仿射变换，直线仍然是直线。
• 平行线在仿射变换后依然平行。
• 但长度和角度一般会发生改变，除非是特定的仿射变换（如等距变换）保持距离和角度。

仿射变换的矩阵分解

仿射变换矩阵可以分解成若干简单变换的组合：

1. 旋转矩阵：控制物体的旋转。
2. 缩放矩阵：控制物体的大小。
3. 剪切矩阵：控制物体的倾斜。
4. 平移矩阵：控制物体的位置。

例如，一个仿射变换矩阵可以表示为以下几个变换的组合：

$$\mathbf{T} = \mathbf{T}_{\text{translation}} \cdot \mathbf{T}_{\text{rotation}} \cdot \mathbf{T}_{\text{scaling}} \cdot \mathbf{T}_{\text{shearing}}$$

仿射变换在图像处理中的应用

在图像处理中，仿射变换的应用非常广泛，比如：

• 图像旋转：旋转图像以校正其角度。
• 图像缩放：调整图像大小以适应不同的显示或处理需求。
• 图像配准：将不同图像对齐，通过旋转、平移等操作使它们的几何形态匹配。

在这些操作中，仿射变换能通过矩阵乘法高效计算，使得图像的每个像素点都能准确地映射到新的位置。

结论

仿射变换的核心在于矩阵乘法，它允许通过统一的线性代数方法实现复杂的几何变换。在处理图像时，仿射变换将每个像素点的坐标通过矩阵运算映射到新位置，从而完成旋转、平移、缩放等操作。